横須賀ビンゴの平均ポイントチェック数

横須賀ビンゴは、１エリア平均何箇所を回る必要があるかを計算してみました。

横須賀ビンゴのルール

• 各エリアには、８箇所のポイントが存在し、各ポイントに１つ問題があります。問題の回答は漢字１文字です。
• 解答用紙は３×３で、中央はマスＦＲＥＥ、周囲のマスには合計８つの漢字が印刷されています。問題の回答は８つの漢字のどれかです。
• 答えがわかったら、解答用紙の漢字にポイントの番号をマークします。
• マークと、ＦＲＥＥで、縦か横か斜めのどれか１列が揃えばビンゴです。

確率計算

前提条件として、ポイントに行く順番（通常は近いところから順番に回る）と、答えの漢字の位置の相関関係はないものとします。選択肢が少ないので、全てのパターンを確認しました。

１番目のポイントでの状態

最初のポイントに行ったとき、答えの漢字は四隅にあるか、４辺の真ん中かのどちらかで、確率はそれぞれ１／２です。

確率 1/2	確率 1/2

２番目のポイントでの状態

１番目の２つのパターンそれぞれに対し、７つの場合分けが発生します。また、2/14の確率でビンゴになります。

	確率 1/14	確率 1/14	確率 1/14	確率 1/14	確率 1/14	確率 1/14	確率 1/14
	確率 1/14	確率 1/14	確率 1/14	確率 1/14	確率 1/14	確率 1/14	確率 1/14

３番目のポイントでの状態

２番目のポイントの結果は、ビンゴになっていない形は、大きく４つに分類できます。それぞれに対し、６つの場合分けが発生します。結果、30/84の確率でビンゴです。

確率 4/14	確率 4/84	確率 4/84	確率 4/84	確率 4/84	確率 4/84	確率 4/84
確率 2/14	確率 2/84	確率 2/84	確率 2/84	確率 2/84	確率 2/84	確率 2/84
確率 4/14	確率 4/84	確率 4/84	確率 4/84	確率 4/84	確率 4/84	確率 4/84
確率 2/14	確率 2/84	確率 2/84	確率 2/84	確率 2/84	確率 2/84	確率 2/84

４番目のポイントでの状態

３番目のポイントの結果は、ビンゴになっていない形は、大きく５つに分類できます。それぞれに対し、５つの場合分けが発生します。結果、162/420の確率でビンゴです。

確率 12/84	確率 12/420	確率 12/420	確率 12/420	確率 12/420	確率 12/420
確率 12/84	確率 12/420	確率 12/420	確率 12/420	確率 12/420	確率 12/420
確率 6/84	確率 6/420	確率 6/420	確率 6/420	確率 6/420	確率 6/420
確率 6/84	確率 6/420	確率 6/420	確率 6/420	確率 6/420	確率 6/420
確率 6/84	確率 6/420	確率 6/420	確率 6/420	確率 6/420	確率 6/420

５番目のポイントでの状態

４番目のポイントの結果は、ビンゴになっていない形は、回転や反転させれば、結局１種類です。５番目のポイントの答えにより４つの場合分けが発生します。ここでビンゴにならない場合はないので、ビンゴは終了です。

確率 48/420	確率 48/1680	確率 48/1680	確率 48/1680	確率 48/1680

期待値の計算

２回目でビンゴになる確率： 2/14
３回目でビンゴになる確率： 30/84
４回目でビンゴになる確率： 162/420
５回目でビンゴになる確率： 192/1680
⇒期待値は、2×2/14＋3×30/84＋4×162/420＋5×192/1680 = 3.471....

ということで、ポイントは８箇所ありますが、大体４箇所ぐらい回ればビンゴは完成します。