多角形の面積，重心(図心)，断面Ｎ次モーメントの公式と，
向き (頂点列の回転方向) の判別方法

自分で考案した任意多角形の面積，重心 (図心)，断面モーメント，慣性モーメント計算の公式集 PDF ファイル および Excel ファイルを，DLmarket 様にて委託ダウンロード販売しています． (各 \514，セット割引 \771)．

任意多角形の重心 (図心) および１次以上のモーメントの公式の無料公開は終了しました． 現在は面積の公式のみ公開しています．

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注意：画像表示を ON にしないと，図と数式が表示されません．

• 本家：http://www5d.biglobe.ne.jp/~noocyte/Programming/Geometry/PolygonMoment-jp.html
• Mirror：http://www.geocities.jp/iafuu/Programming/Geometry/PolygonMoment-jp.html

1. 多角形の面積，重心 (図心)，断面Ｎ次モーメントの公式
   1. 多角形の定義
   2. 多角形の断面Ｎ次モーメントの公式
   3. 多角形の面積の公式および向き (頂点列の回転方向) の判定方法
   4. 任意多角形の断面１次モーメントおよび重心 (図心)
      
   5. 任意多角形の断面２次モーメント
   6. 任意多角形の断面２次極モーメント (多角形板・多角形柱の慣性モーメント)
   7. 任意多角形の断面Ｎ次モーメントの公式の証明
   8. 多角形の断面相乗モーメント (慣性乗積) (研究中)
2. 任意の回転体の体積，慣性モーメント，重心の公式
   1. 回転体の体積の公式
   2. 回転体の慣性モーメントの公式
   3. 回転体の重心の公式
   4. 回転体の公式の証明
3. 台形の体積！？！？
   1. 錐台の体積の公式
4. 任意多角形のモーメント計算公式集 PDF および Excel ファイル販売
   1. 任意多角形のモーメント計算公式集＋証明 PDF ファイル (PolygonMoment.pdf)
      1. PolygonMoment.pdf (Ver.1.02) 目次
   2. 多角形のモーメント計算 Excel ファイル (PolygonMoment.xls) Ver.1.22
      1. 画面サンプル #1 (Ｉ型断面の例)
      2. 画面サンプル #2 (台形断面の例)
      3. 計算機能一覧
5. 参考・関連図書
6. サイト内関連ページ
7. 外部へのリンク
8. 更新履歴

多角形は頂点座標の列 P_i＝(X_i，Y_i) (i＝1，2，…，n，n≧3) で与えられるものとする．
数式を単純にするため，P_n+1≡P₁ と定義する．
また，閉曲線 C＝(P₁，P₂，…，P_n，P_n+1＝P₁) は左回り^(注１)であるとする．

なお多角形は凸多角形である必要はないが， 穴は開いていない (単連結領域である) ものとする．

注１： ここでいう「左回り」は，座標系の向きが上図のようになっている (つまりＸ軸を90°左に回転させるとＹ軸になる) 場合である．座標系の向きが逆 (例えばＹ軸が下向き) の場合には右回りにしなければならない． (参考)

無料公開は終了しました． 任意多角形の断面Ｎ次モーメントの公式および証明は， 「任意多角形のモーメント計算公式集」で解説しています．

面積 S≡∫dS は断面０次モーメントなので，断面Ｎ次モーメントの公式で N＝0 と置けばよい．

ここで P_i×P_i+1 は２次元の外積である．

S の符号は C の回転方向によって変わる． つまり S は面積そのものではなく，符号付面積である．
|S| が面積であり，S＞0 ならば C は左回り，S＜0 ならば C は右回り．

上の３行目の式では，各項は三角形 OP_iP_i+1 の符号付面積であり，それをすべての三角形について合計したものになっている．

１行目の式では，多角形の各頂点からY軸に垂線を下ろし， それによって作られる台形の符号付面積が各項になっている． ２行目の式ではY軸の代わりにX軸に垂線を下ろしたものになっている．

測量の分野では，１行目の式を使って面積を求めることを倍横距法， ２行目を合緯距法という．
(X_i＋X_i+1) が横の平均距離の２倍だから倍横距， (Y_i＋Y_i+1) が縦 (緯線間隔) の合計距離だから合緯距ということだろう (憶測)．
(ただしこれはＸ軸が横，Ｙ軸が縦の場合．測量ではＸ軸が縦，Ｙ軸が横になるらしい． 回転方向にも注意．)

乗算回数を比較すると，台形公式ではｎ回， 三角形 (外積) の公式では２ｎ回である．したがって (面積だけを) 数値計算する場合は台形公式の方が効率が良い． 逆に１次以上のモーメントと同時に計算する場合は， 外積の計算が共通化できるので，三角形公式の方が効率が良い．

• 多角形の面積 (上記の２行目の台形公式を使った計算例 (図あり))
• トラバース測量 (和歌山大学 谷川研究室)

無料公開は終了しました．現在，これらの公式・証明は「任意多角形のモーメント計算公式集」で解説しています．
(証明についてはベクトル解析とストークスの定理を理解している必要があります．)

断面相乗モーメント (慣性乗積) の一般化として， 断面 (p, q) 次相乗モーメントを次のように定義する．

a を任意定数とすると，次式は X^p * Y^q のベクトルポテンシャルである．

a＝0 としてストークスの定理を使用すると，

後は気が向いたら書きます．

下の図にあるような単純な回転体ならば， 体積・慣性モーメント・重心の公式は公式集にも載っているだろう．
形状がもっと複雑な場合，軸断面の片側 S (下図のグレーの部分) の断面モーメントから計算できる．
(密度ρは一定とする．)

回転軸をＹ軸とし，その片側 (X≧0 側) のＹ軸に関する断面ｍ次モーメントを IX_m≡∫X^m dS，Ｘ軸およびＹ軸に関する断面相乗モーメントを IXY≡∫X Y dS とすると，回転体の体積・慣性モーメント・重心の公式は次のようになる．

V ＝ 2π IX₁ (IX₁：軸断面片側の，回転軸に関する断面１次モーメント)

軸断面片側の面積を S，その図心の X 座標を X_COF (COF：Center Of Figure，図心) とすると，
IX₁ ＝ S X_COF なので V ＝ 2π S X_COF とも書ける．
これをパップス・ギュルダンの定理 (Pappus's Centroid Theorem，Pappus-Guldinus theorem) という．

回転体の質量 M は次のとおり．

M ＝ ρV ＝ 2πρ IX₁ ＝ 2πρ S X_COF

I ＝ 2πρ IX₃ ＝ M IX₃ / IX₁ (IX₃：軸断面片側の，回転軸に関する断面３次モーメント)

回転半径は次のとおり．

R ＝ √(I / M) ＝ √(IX₃ / IX₁)

回転体の重心は明らかに回転軸 (Y 軸) 上にある．その Y 座標 Y_G は，

Y_G ＝ ２π IXY / V ＝ IXY / IX₁ (IXY：軸断面片側の，X 軸と Y 軸に関する断面相乗モーメント)

証明は簡単．回転軸からの距離を R とすると， 円筒座標の微小体積は dV ＝ R dR dY dθ．
軸断面 S 内では R＝X，dR dY ＝ dX dY ＝ dS であることに注意すると，

S が多角形ならば，体積と慣性モーメントは「任意多角形のモーメント計算公式集」の断面Ｎ次モーメントの公式を使えば機械的に計算できる． (重心の計算に必要な断面相乗モーメント IXY の公式は研究中．)

「台形の体積」で検索してくる人が多い． 最初は「台形の面積」の単純な間違いかと思ったが，あまりに多いので "台形体積" で検索してみると， どうやら土木関係で「台形体積」という言い方をするらしい． ここでいう「台形」が角錐台 (Pyramidal Frustum，飛び箱形など) なのか，円錐台 (Conical Frustum，プリン形) なのか，それ以外の立体なのか，全く謎なので答えを書きようがない．

土木関係 (？) の皆さ〜ん， 「台形体積」じゃ他分野では全く意味不明ですよ〜．
それに，そんな言葉使ってたら，小学生にも笑われるし…．

とりあえずここでいう「台形」を一般の錐台 (frustum： 錐体 (cone) を底面と平行に切ってできる立体) と仮定する． 両底面の面積をそれぞれ S₁，S₂， 高さを h とすると体積 V は，

V ＝ (h/3) (S1 + √(S1 * S2) + S2)

一応念のために書いておくと，この公式は底面がどんな形でもよいし， 錐体の頂点が「底面の中心の真上」になくてもよい． また，底面に垂直な軸に対して螺旋状にねじれていてもよい．

証明は簡単．錐台の頂点を原点として高さ方向にＸ軸を取ると， 高さＸでの底面積は X² に比例するので， これを２つの底面の間で積分し，公式 a³ − b³ ＝ (a − b) (a² ＋ a b ＋ b²) を使えばよい．

注意：２つの底面が相似形でない (四角錐台に似ているが２つの底面の縦横比が異なる， 別の言い方をすると４本の斜めの稜線を延長しても一点で交わらない) 場合は錐台ではないので，上の公式は使えない．

• Pyramidal Frustum (Wolfram Mathworld)
  角錐台の側面積，体積，重心の公式など．
• Conical Frustum (Wolfram Mathworld)
  円錐台の側面積，体積，重心の公式など．

自分で考案した任意多角形の面積，重心 (図心)，断面モーメント，慣性モーメントの公式集 PDF ファイルおよび Excel ファイルを，DLmarket 様にて委託ダウンロード販売しています．

以前このページで公開していた，任意多角形の重心 (図心)， 断面モーメント，慣性モーメントの公式および証明に加筆し，PDF ファイルとして販売しています． 面積や重心の公式，向きの判定方法については他のサイトや本で見たことがありますが， ２次以上のモーメントの公式については (少なくとも日本語のサイトでは) 見たことがありません．

また重心については，他のサイトでは公式 (と証明) だけで計算例を示しているものが見つかりませんが，この PDF ファイルでは公式の応用例として，計算表を使って台形や三角形の重心 (図心) および断面Ｎ次モーメントの公式を導いています． ネット上で「台形の重心」を検索しても，(少なくとも日本語のサイトでは) 高さ方向の重心位置の公式しか見あたりませんが， 多角形の重心の公式を使えば横方向の公式も簡単に導けます．

PolygonMoment.pdf (Ver.1.02) 目次

1.  はじめに
2.  任意多角形の断面ｍ次モーメント
2.1 任意の平面図形の断面ｍ次モーメントの定義
2.2 任意多角形の断面ｍ次モーメントの公式 (Y/X軸まわり)
3.  任意多角形の面積および頂点列の回転方向
3.1 任意多角形の面積の公式および回転方向の判定方法
3.2 ３次元空間内の任意多角形の面積
4.  任意多角形の断面1次モーメントおよび重心 (図心)
4.1 任意多角形の断面1次モーメントの公式 (Y/X軸まわり)
4.2 任意多角形の重心 (図心) の公式
5.  任意多角形の断面2次モーメント
5.1 任意多角形の断面2次モーメントの公式 (Y/X軸まわり)
5.2 任意多角形の断面2次モーメントの公式 (中立軸まわり)
5.3 任意多角形の断面2次極モーメントの公式 (原点まわり)
5.4 任意多角形の断面2次極モーメントの公式 (重心まわり)
5.5 多角形板・多角形柱の慣性モーメントの公式
6.  公式の証明
6.1 任意多角形の断面ｍ次モーメントの証明
7.  公式の使用例
    〜 台形・三角形などの面積・重心(図心)・断面モーメントを求める 〜
7.1 台形の面積・重心(図心)・断面モーメントの公式
  ・台形の面積
  ・台形の断面１次モーメント (Y軸まわり)
  ・台形の断面１次モーメント (X軸まわり)
  ・台形の重心 (図心)
  ・台形の断面２次モーメント (Y軸まわり)
  ・台形の断面２次モーメント (X軸まわり)
  ・台形の断面２次モーメント (中立軸 X＝XG まわり)
  ・台形の断面２次モーメント (中立軸 Y＝YG まわり)
7.2 三角形の面積・重心(図心)・断面モーメントの公式
  ・三角形の面積
  ・三角形の断面１次モーメント (Y軸まわり)
  ・三角形の断面１次モーメント (X軸まわり)
  ・三角形の重心 (図心)
  ・三角形の断面２次モーメント (Y軸まわり)
  ・三角形の断面２次モーメント (X軸まわり)
  ・三角形の断面２次モーメント (中立軸 X＝XG まわり)
  ・三角形の断面２次モーメント (中立軸 Y＝YG まわり)

任意多角形の頂点数と頂点座標を入力するだけで面積，重心 (図心)，断面モーメント，断面係数などを自動的に計算する Excel ワークシートです．

密度を入力すれば多角形板／多角形柱や軸断面が多角形の回転体の体積，質量， 慣性モーメント，回転半径も計算できます．
(VBA は使っていません．)

現在のバージョン (V1.22) では，最大頂点数は 2500 ですが，Excel を使い慣れている人ならば簡単に Excel の限界 (約 65,000 頂点) まで増やすことができます．

画面サンプル #1 (Ｉ型断面の例)

このページのＩ型 (Ｈ型) 断面形状を入力してみた例です． 計算結果を比較してみてください．

断面形状および図心軸を自動的に表示します．

画面サンプル #2 (台形断面の例)

断面が台形の場合です (回転体としての形状は中心にテーパー穴のあいた円錐台)．

計算機能一覧

• 幾何学・CG のアルゴリズム集
• ３点の座標から簡単に角度と回転方向を求める．(2・3・N次元，外積を用いる方法)

• Wikipedia
  • 重心
  • Centroid
  • ストークスの定理
  • 発散定理
  • (ベクトル場の) 回転，ベクトルポテンシャル
• 断面１次モーメント及び２次の断面モーメント (PDF)
• 建築構造力学入門 ５‐断面の性質
• 部材断面の性能 (構造屋さん修行中)
  断面１次モーメント，断面２次モーメント，断面係数，断面２次半径．
• よくわかる材料力学 予習・復習、再入門、演習問題ヒントのページ
• 材料力学への数式処理の適用
• 高精度計算サイト (Web ページ上でさまざまな高精度計算ができる．)
• 右回り、左回り？
  平面上の３点を順番に巡るとき，それが右回りか左回りかを判別せよという問題．
• Geometry (Wolfram Mathworld)
  
• 測量雑学 (測量士＆測量士補 試験対策ＷＥＢ)
  • 測量用語の読み方
• XY平面座標から△ABCの面積を求める (OKWave)
• 多面体からなる剛体の質量と重心と慣性テンソル
• 図形/幾何学 (北海道教育大学 図説「数学教育」 算数/数学科の＜数学＞)
• 慣性モーメントを計算する
• みんなで作る土木用語辞典

1. 2006/04/11(火) 任意多角形の面積の公式導出．
2. 2006/11/16(木) 任意多角形の重心の公式を導き，とりあえず公開．
3. 2006/11/19(日) 一般の断面Ｎ次モーメントの公式を追加．
4. 2006/12/10(日) 断面２次極モーメントを追加．
5. 2006/12/29(金) 回転体の体積と慣性モーメントを追加 (証明以外)．
6. 2007/01/27(土) 面積の公式に台形公式とその説明を追記．
7. 2007/02/02(金) 回転体の体積と慣性モーメントに証明を追記．
8. 2007/05/29(火) 回転体の重心の公式を追加．
9. 2007/10/27(土) 台形の体積！？！？を追加．
10. 2008/09/09(火) 多角形の断面相乗モーメント (慣性乗積) を追加，ゲストブック設置．→ (2014/06/08(日) ゲストブックサービス終了)
11. 2009/06/08(月) 任意多角形のモーメント計算 PDF および Excel ファイル販売開始．
12. 2009/06/10(水) Excel ファイルの画面サンプルを追加．
13. 2009/08/12(水) 錐台の体積の公式に注意書きを追加．
14. 2009/12/26(土) PolygonMoment のバージョン更新 (PDF：1.02，XLS：1.22)
15. 2010/06/12(土) 参考・関連図書を追加．
16. 2010/09/20(月) PDF および XLS ファイルを委託販売開始．
17. 2016/04/03(日) DLmarket の販売手数料率変更による価格変更．