３次元の回転 (原点を通る任意方向の回転軸まわり)
― 座標系に依存しないベクトル・回転行列による表現 ―

注意

• 対象読者：(３次元) ベクトルの内積・外積，２次元の回転行列を理解している人． (大学１年の物理数学レベル)
  (テンソル解析の初歩 (具体的にはエディントンのイプシロンを用いた３次元外積の表現) を知っていればなお良い．)
• 「オイラー角」や「ロール ピッチ ヨー (カルダン角)」等で検索して来た人は↓必読！
  ７０秒で分る、使える、四元数・４元数・クォータニオン・ Quaternionで回転 (産業技術総合研究所 中田 亨)
  ⇒ オイラー角から四元数への変換やその逆変換という問題 (背景説明篇)

  この問題はしばしば相談を受けるのですが、
  数学的理由と、数学の外の事情で難しいのです。

• ワールド座標 ⇔ カメラ座標 (視野座標) の変換式を求めようとしてここに迷い込んでくる人がたまにいるみたいだけど， ややこしいカメラの回転を考える必要はありません． そういう人はこっち．
• 画像表示を ON にしないと，図と数式が表示されません．

1. 問題
2. 解答
   1. 記号の定義
   2. ベクトルによる表現
   3. 回転行列による表現
   4. 四元数 (クォータニオン) による表現 (研究中)
3. 参考・関連図書
4. サイト内関連ページ
5. 外部へのリンク
6. 更新履歴

３次元空間内において，原点を通る任意方向の回転軸のまわりに 点を角度θだけ回転させたときの位置を求めよ．

	O：原点 OA：回転軸 P：回転前の点の位置 P'：回転後の点の位置 Q：点 P を含む回転面と回転軸の交点 a：回転軸の方向・向きを表す単位ベクトル θ：回転角 回転方向は，座標系が右手系ならば a に対して右ネジの向き， 左手系ならば左ネジの向きとする． p ≡ O→P p' ≡ O→P' u ≡ Q→P v ≡ a × u

O→Q は単位ベクトル a に対する p の平行成分，u は垂直成分なので，

……………………………………… (2.2.1)
………………… (2.2.2)

v は定義より，

…………………(2.2.3)

a⊥u かつ |a|＝1 なので，|u|＝|v| である点に注意．

以上と u⊥v であることを考慮すると，回転後の位置 p' は２次元の回転の式を使って次のように書けることは明らか．

…………………(2.2.4)

ねっ，簡単でしょ？

ベクトルは縦ベクトル，^t を転置とする．例えば，

また行列 [a×] を，任意のベクトル a，p について次式が成り立つように定義する．
("[a×]" はここで勝手に定義する記号なので，よそを探してもないよ．)
(2008/08/17(日) 追記：外積行列 (cross-product matrix) というらしい．)

…………………(2.3.1)

つまり，

…………………(2.3.2)

これを用いると，(2.2.4) は次のように書ける．

…………………(2.3.3)
(I₃ は３次の単位行列)

したがって回転行列 R(a, θ) は次のようになる．

…………………(2.3.4)

成分で書けば次のとおり．

…………………(2.3.5)
(δ_ij は クロネッカーのデルタ，ε_ikj は エディントンのイプシロン．)

(余談：英語版 Wikipedia には，ε_ijk を３次元行列 (３次行列ではない) で表現した図がある．
また，ε_ijk と δ_ij の面白い関係式も載っている．)

なお，この行列を同次座標用に拡張したものは， OpenGL の glRotate (glRotatef, glRotatex) 関数でも用いられている． また DirectX (D3DX) の D3DXMatrixRotationAxis 関数もこの行列を返すはず．

2008/06/18(水) 追記

ロドリゲスの回転公式 (Rodrigues' Rotation Formula) というらしい．

2008/08/17(日) 追記

エディントンのイプシロンを用いた式は， ３次元外積の成分を統一的に表現することができるので代数的に扱うには都合がよい． しかし数値計算 (CG を含む) では， 無駄に積和演算と多次元配列のアクセスを増やすので遅い． クロネッカーのデルタについても同様． sinθ [a×] と cosθ I₃ の非零要素だけを個別に加算するようハードコードする方がよい．

2010/02/27(土) 追記

ベクトルの回転 (物理のかぎしっぽ) より引用．

注)有限回転の式を，ロドリグの公式と呼びましたが， この式を導いたのはロドリグではないという説が有力です． この式自体は，実はもっと昔から知られていたようなのですが， ベクトルという概念がまだ無かったので，違った説明のされかたをされていました． ベクトルという概念を前面に押し出して，この公式を初めて導いたのはギブスのようです． こういった事情により，ロドリグの公式という言い方を避けて， ベクトルの回転公式などと呼ぶ人もいるようですが， 未だに定着している名前はありません．

(研究中)

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• ３点の座標から簡単に角度と回転方向を求める．(2・3・N次元，外積を用いる方法)
• 視野変換・射影変換 (ワールド座標系 ⇒ カメラ座標系 ⇒ 画面座標系)

• ３次元の回転
  • Rodrigues' rotation formula (Wikipedia)
  • Rodrigues' Rotation Formula (Wolfram MathWorld)
  • ベクトルの回転 (物理のかぎしっぽ)
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    • オイラー角から四元数への変換やその逆変換という問題（背景説明篇）

      この問題はしばしば相談を受けるのですが、
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    • 四元数ムダ知識
  • 北海道大学 講義資料
    ３次元の回転及び角速度： 数学的準備，シンプルローテーション，回転行列，オイラーパラメータ， ロドリゲスパラメータ，オイラー角，連続する回転操作，角速度の表現，演習ほか．
    • 宇宙機ダイナミクス
      • 第３回 (2007/06/12) 資料 (p.12〜)
      • 第４回 (2007/06/19) 資料
      • 第５回 (2007/06/26) 資料
    • ロボット情報学
      順運動学，逆運動学．
  • 人間−ロボット情報学2007 講義資料 (東北大学)
    ３次元回転姿勢と角速度に関する補足： ロドリゲスパラメータ，オイラーパラメータ，２×２複素行列ほか．
  • Mini Tips 1：任意軸周りの回転行列を求める (伊藤ソフトウェア研究所)
    回転行列の導出と，それを作成する Java のサンプルプログラム．
  • TMPSwiki
    • 3D空間における回転の表現形式 (TMPSwiki)
    • クォータニオン逆運動学
      
      • 対数クォータニオンを用いた数値的逆運動学法 (インバースキネマティクス，IK)
      • ３次元回転表現の相互変換 (回転行列，クォータニオン，オイラー角，etc.)
  • DOSEI日記
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  • 四元数と3次元空間中の回転 (++C++;// 未確認飛行 C)
  • コラム/QuaternionPowers
    

    GameDev?.orgで2003年2月に投稿された“Quaternion Powers”（Sobeit Void氏著）の無許可な和訳です。

    元記事：http://www.gamedev.net/reference/articles/article1095.asp
  • 回転行列の表現方法
    3次元図形変換の行列表現：平行移動，拡大・縮小・反転，回転 (X/Y/Z 軸まわり，任意ベクトルまわり，オイラー角， ロール・ピッチ・ヨー，四元数)
  • 座標変換
    ２次元と３次元の座標変換 (ロボット用なので回転と平行移動のみ)， 同次変換，オイラー角．
  • 回転行列からオイラー角のパラメータ抽出を行う (It_lives_vainlyの日記)
  • ホクト・システム ちょっといい話 続・有限要素法・よもやま話「第7話 4元数をもう一度」
    ３次元回転の数学史的エピソード． ロドリゲス (ロドリーグ) の名前もちょっと出てる．
  • 剛体の運動には必ず回転軸があることの証明をば (::Rukeのページ:: )
  • 回転を与える変換行列の解析 (島田 静雄，CAD・CGのための基礎数学)
    
    • 回転行列から回転軸の方向と回転角を求める．
    • 回転行列から座標軸まわりの回転角を求める．
    • 回転中心を求める．

    注意

    • FireFox では数式 (画像) が見えない．IE では見える．
      (画像のパス名の区切りに '/' ではなく '\' を使っているため．)
    • 一部しか読んでないけど，式 (4.41) は間違ってる．
  • 有顔ベクトルを用いた３次元の回転の表現
    • Inverse Kinematicsを用いたヒューマンフィギュアの動作決定に関する研究
      (筑波大学システム工学研究科 南城康之 (修論))
  • miscellaneous
    CG の各種アルゴリズムを ActionScript で実装したサンプルがある．
    • 回転行列から回転軸と回転角を求める
    • 回転行列の分解
  • 球座標の回転
  • 3 次元のアフィン行列を求める問題について (新潟工科大学 情報電子工学科 竹野茂治)
    「1 はじめに」から引用．

    以前機械系の方と、3 次元の合同アフィン変換 (回転 ＋ 平行移動からなる合同変換) の、回転と平行移動を求める方法に関して話を聞いたことがあり、 その方法が多少面白い方法であったので、ここにまとめておく。

    PDF ファイル

  • SO(3)の生成子 (Quod Erat Demonstrandum?)
• 右手系と左手系
  • OpenGL / DirectXにおける３Ｄ基礎概念の対比
    (The Fifth DIMENSION：実践 ３Ｄプログラミングの集い)
    OpenGL と DirectX の相違点．右/左手系，回転方向，行/列ベクトルなど．
  • 座標系 (Direct3D 9) (MSDN)
    右手系の CG データを DirectX の (左手) 座標系に変換する方法．
    • ポリゴンの各三角形の頂点順序が (表側から見て) 右回りになるように並べ替える．
    • ビュー行列でＺ成分の符号を反転させる．
  • 左手座標系と右手座標系間の変換 (篤のメモ帳)
  • 右手座標系と左手座標系（クォータニオン）
  • OpenGL を Direct3D 互換で使う (ホイール欲しい ハンドル欲しい)
    • OpenGL を左手座標系で使用する方法
    • OpenGL と Direct3D の座標系の違い
    • OpenGL と Direct3D のシャドウマップ
  • 軸性ベクトル (擬ベクトル) に関する詳しい説明
    • ベクトルの外積　軸性ベクトルについて (OKWave)
    • NO.1825　線形な（正直な？）エッセイ（？）其の１　2010.1.4.　DDT
      (Weekend Mathematics コロキウム室 NO.251)
• Wikipedia
  • ドット積
  • クロス積
  • クロネッカーのデルタ
  • エディントンのイプシロン (Levi-Civita symbol)
    英語版には ε_ijk を３次元行列 (３次行列ではない) で表現した図がある．
    また，ε_ijk と δ_ij の面白い関係式も載っている．
  • テンソル
  • 擬ベクトル
  • 擬スカラー
  • 四元数
  • Axis angle
  • オイラー角
  • 方位角 (Azimuth)
  • 仰俯角 (仰角・俯角，Altura)
  • 天球座標系
  • Euler-Rodrigues parameters
• ベクトル解析 (物理のかぎしっぽ)
  • 四元数
  • 軸性ベクトルと極性ベクトル
  • 擬テンソル
• ベクトル・複素数・クォータニオン (PDF)
• Quaternion 〜いや、もう皆使えるだろ〜 (t-pot)
  • Quaternion(４元数)とは
  • 逆Quaternion
  • Quaternion と回転の関係
  • 任意軸回りの回転
  • 球面線型補間
  • Quaternion による回転の行列表記
  • プログラム (Direct3D)
• Quaternion (Wolfram MathWorld)
• 外積について (高校生のための微分幾何)
• ２次元ベクトルの外積の効用 (線形代数学の教科内容の改善に向けて)
  ２次元外積のわかりやすい解説．
• 固有ベクトル、行列の幾何学的解釈 (アクションゲーム大好き)
• 四次元への扉 (岡田好一ホームページ)
  四次元の超立体について．
• 座標変換とスピノール
  Ｎ次元の回転について．
• 高次元回転行列の補間とその応用
  (名古屋大学大学院情報科学研究科 高橋友和ほか， Visual Computing / グラフィクスと CAD 合同シンポジウム 2007)

このページの主な更新は Blog でお知らせします．

1. 2008/06/08(日) 作成開始
2. 2008/06/10(火) 公開
3. 2008/06/15(日) タイトル変更
4. 2008/06/18(水) ロドリゲスの回転公式について追記．
5. 2008/08/17(日) 数値計算に関する注意と外積行列に関する追記．
6. 2008/09/05(金) 参考・関連図書を追加．
7. 2009/02/05(木) 左手系の場合の図を追加．
8. 2010/02/27(土) 回転公式の名称について追記．
9. 2010/06/12(土) 参考・関連図書を追加．
10. 2011/11/03(木) 参考・関連図書を追加．