視野変換・射影変換
(ワールド座標系 ⇒ カメラ座標系 ⇒ 画面座標系)

注意

• 対象読者：３次元ベクトルの内積・外積と行列を理解している人．
• 画像表示を ON にしないと，図と数式が表示されません．

1. 視野変換 (ワールド座標系 ⇒ カメラ座標系)
   1. 記号の定義
   2. 変換式
   3. OpenGL (gluLookAt()) の場合
   4. DirectX (D3DXMatrixLookAtLH()，D3DXMatrixLookAtRH()) の場合
2. 射影変換 (カメラ座標系 ⇒ 画面座標系)
3. 参考図書
4. サイト内関連ページ
5. 外部へのリンク
6. 更新履歴

• 入力
  • E (eye)：カメラ (視点) 位置 (カメラ座標系の原点でなくてもよい．)
  • C (center)：注視点
  • up：カメラの上方向を指定するベクトル
    カメラに対して前後に傾いていてもよいが，視線と平行であってはならない．
  • OE (origin of eye)：カメラ座標系の原点
  • P：任意の点
• 出力
  • カメラ座標系の正規直交基底
    • f (forward)：カメラ前方向 (視線方向) の単位ベクトル
    • u (up)：カメラ真上方向の単位ベクトル
    • r (right)：カメラ右方向の単位ベクトル
• その他 (中間結果)
  • up_//：視線方向 (E→C) に対する up の平行成分 (変換結果に影響しない．)
  • up_⊥：視線方向 (E→C) に対する up の垂直成分 (≠0，カメラの真上方向)

f は E→C 方向の単位ベクトルなので，

r は f と up を含む平面に垂直な単位ベクトルなので，

u は f と r に垂直な単位ベクトルなので，

(ここで | r | ＝ | f | ＝ 1 かつ r⊥f なので | r×f | ＝ | f×r | ＝ 1 となるため正規化は不要．)

したがって任意の点 P のカメラ座標 (Pr，Pu，Pf) は次のようになる．
(ベクトルは縦ベクトル，^t は転置とする)

同次座標を使えば次のとおり．

したがってビュー変換行列 V は，

ねっ，簡単でしょ？

• ワールド座標は右手系．
• カメラ座標系の X，Y，Z 軸の方向はそれぞれ r，u，-f (右手系)．
• OE ＝ E．

• D3DXMatrixLookAtLH()
  • ワールド座標は左手系．
  • カメラ座標系の X，Y，Z 軸の方向はそれぞれ r，u，f (左手系)．
  • OE ＝ E．
• D3DXMatrixLookAtRH()
  • ワールド座標は右手系．
  • カメラ座標系の X，Y，Z 軸の方向はそれぞれ r，u，-f (右手系)．
  • OE ＝ E．

そのうち書く … と思う．

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３次元の不可能物体を作るための数学的基礎として， 遠近法，射影幾何学，両眼立体視，立体復元 (立体の投影図から元の立体を復元する) 等の数学的解説がある．

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• ３点の座標から簡単に角度と回転方向を求める．(2・3・N次元，外積を用いる方法)
• ３次元の回転 (原点を通る任意方向回転軸，座標系に依存しないベクトル・回転行列表現)

• コンピュータグラフィックス 第８回：スクリーンに映す (和歌山大学 デザイン情報学科 講義資料)
• ２００９年度　コンピュータ工学演習 (大阪大学)
  ⇒ 第２回 10/15 (座標変換，透視変換)  テキスト (PDF)  スライド (PDF)
• CAD・CGのための基礎数学 (島田 静雄)
  ５章 図形の投影と変換
  1. 投影・射影・変換などの言葉の意味
  2. アフィン変換
  3. 射影変換
  4. 透視図の数学
  5. 「第5章 図形の投影と変換」のまとめ

  注意：FireFox では画像が見えない．IE では見える．
  (画像のパス名の区切りに '/' ではなく '\' を使っているため．)

• OpenGL
  • OpenGLの座標系
  • gluLookAt - define a viewing transformation (マニュアル)
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    4　視野のセッティング (らいちゅのてきだにサイト)
• DirectX
  • 射影トランスフォーム (Direct3D 9) (MSDN)

このページの主な更新は Blog でお知らせします．

1. 2009/08/16(日) 作成・公開
2. 2009/09/13(日) 右手系／左手系の区別をワールド座標／カメラ座標ごとに明記．
3. 2010/02/27(土) 視野変換の記号を入力・出力・その他に分類，説明少し追記．
4. 2010/06/13(日) 参考・関連図書を追加．
5. 2011/11/03(木) 参考・関連図書を追加．