視野変換・射影変換
(ワールド座標系 ⇒ カメラ座標系 ⇒ 画面座標系)

注意

• 対象読者：３次元ベクトルの内積・外積と行列を理解している人．
• 画像表示を ON にしないと，図と数式が表示されません．

1. 視野変換 (ワールド座標系 ⇒ カメラ座標系)
   1. 記号の定義
   2. 変換式
   3. OpenGL (gluLookAt()) の場合
   4. DirectX (DirectXMath，XNA Math，D3DX) の場合
2. 射影変換 (カメラ座標系 ⇒ 画面座標系)
3. 参考図書
4. サイト内関連ページ
5. 外部へのリンク
6. 更新履歴

• 入力
  • E (eye)：カメラ (視点) 位置 (カメラ座標系の原点でなくてもよい．)
  • C (center)：注視点
  • up：カメラの上方向を指定するベクトル
    カメラに対して前後に傾いていてもよいが，視線と平行であってはならない．
    OpenGL や DirectX のソースコードで up ベクトルをワールド座標系の真上方向 (0, 1, 0) に固定しているものをたまに見かけるが， これだとカメラを真上や真下に向けたときに何も見えなくなってしまう． (up と f が平行になるので，ビュー変換行列が定義できない．)
  • OE (origin of eye)：カメラ座標系の原点
  • P：任意の点
• 出力
  • カメラ座標系の正規直交基底
    • f (forward)：カメラ前方向 (視線方向) の単位ベクトル
    • u (up)：カメラ真上方向の単位ベクトル
    • r (right)：カメラ右方向の単位ベクトル
• その他 (中間結果)
  • up_//：視線方向 (E→C) に対する up の平行成分 (変換結果に影響しない．)
  • up_⊥：視線方向 (E→C) に対する up の垂直成分 (≠0，カメラの真上方向)

注意：最近の FireFox (19.x 以降) では数式 (画像) の表示がおかしくなるようです．(2013/04/08(月))
23.0 ではさらに悪化．(2013/08/16(金))

FireFox 47.0 では直ってました．(2016/07/19(火))

f は E→C 方向の単位ベクトルなので，

r は f と up を含む平面に垂直な単位ベクトルなので，

u は f と r に垂直な単位ベクトルなので，

(ここで | r | ＝ | f | ＝ 1 かつ r⊥f なので | r×f | ＝ | f×r | ＝ 1 となるため正規化は不要．)

したがって任意の点 P のカメラ座標 (Pr，Pu，Pf) は次のようになる．
(ベクトルは縦ベクトル，^t は転置とする)

同次座標を使えば次のとおり．

したがってビュー変換行列 V は，

ねっ，簡単でしょ？

• ワールド座標は右手系．
• カメラ座標系の X，Y，Z 軸の方向はそれぞれ r，u，-f (右手系)．
• OE ＝ E．

• XMMatrixLookAtLH / XMMatrixLookToLH (DirectXMath / XNA Math)， D3DXMatrixLookAtLH (D3DX)
  • ワールド座標は左手系．
  • カメラ座標系の X，Y，Z 軸の方向はそれぞれ r，u，f (左手系)．
  • OE ＝ E．
• XMMatrixLookAtRH / XMMatrixLookToRH (DirectXMath / XNA Math)， D3DXMatrixLookAtRH (D3DX)
  • ワールド座標は右手系．
  • カメラ座標系の X，Y，Z 軸の方向はそれぞれ r，u，-f (右手系)．
  • OE ＝ E．
• 注意
  • XMMatrixLookAt{LH,RH}() のマニュアルにある「焦点 (focus)」は通常の (光学的な) 意味での焦点とは無関係で，本記事でいう「注視点」のこと．

そのうち書く … と思う．

---

３次元の不可能物体を作るための数学的基礎として， 遠近法，射影幾何学，両眼立体視，立体復元 (立体の投影図から元の立体を復元する) 等の数学的解説がある．

楽天で買う 価格：4,830円（税込、送料別）

Androidゲームプログラミング A to Z posted with amazlet at 12.05.20 Mario Zechner インプレスジャパン 売り上げランキング: 26792 Amazon.co.jp で詳細を見る

---

楽天で買う 価格：2,835円（税込、送料別）

なっとくするベクトル (なっとくシリーズ) posted with amazlet at 11.11.03 小野寺 嘉孝 講談社 売り上げランキング: 122943 Amazon.co.jp で詳細を見る

---

楽天で買う 価格：2,835円（税込、送料別）

なっとくする行列・ベクトル (なっとくシリーズ) posted with amazlet at 11.11.03 川久保 勝夫 講談社 売り上げランキング: 172378 Amazon.co.jp で詳細を見る

---

楽天で買う 価格：1,575円（税込、送料別）

内積・外積・空間図形を通して ベクトルを深く理解しよう (数学のかんどころ　1) posted with amazlet at 11.11.03 飯高 茂 共立出版 売り上げランキング: 190055 Amazon.co.jp で詳細を見る

---

ベクトル・行列がビジュアルにわかる線形代数と幾何 posted with amazlet at 11.11.03 江見 圭司 江見 善一 共立出版 売り上げランキング: 158714 Amazon.co.jp で詳細を見る

---

楽天で買う 価格：2,100円（税込、送料別）

行列とベクトルのはなし―線形代数の基礎 posted with amazlet at 11.11.03 大村 平 日科技連出版社 売り上げランキング: 248023 Amazon.co.jp で詳細を見る

---

---

楽天で買う 価格：2,730円（税込、送料別）

C++による簡単実習 3次元CG入門 posted with amazlet at 11.09.03 小笠原 祐治 森北出版 売り上げランキング: 285345 Amazon.co.jp で詳細を見る

理論的な説明 ＋ サンプルプログラム．

---

楽天で買う 価格：2,940円（税込、送料別）

初めてのOpenGL ES posted with amazlet at 12.12.09 山下 武志 オライリージャパン 売り上げランキング: 85713 Amazon.co.jp で詳細を見る

---

---

---

---

---

---

---

---

楽天で買う 価格：1,575円（税込、送料別）

いかにして問題をとくか posted with amazlet at 11.09.03 G. ポリア 丸善 売り上げランキング: 41 Amazon.co.jp で詳細を見る

• ３点の座標から簡単に角度と回転方向を求める．(2・3・N次元，外積を用いる方法)
• ３次元の回転 (原点を通る任意方向回転軸，座標系に依存しないベクトル・回転行列表現)

• コンピュータグラフィックス 第８回：スクリーンに映す (和歌山大学 デザイン情報学科 講義資料)
• ２００９年度　コンピュータ工学演習 (大阪大学)
  ⇒ 第２回 10/15 (座標変換，透視変換)  テキスト (PDF)  スライド (PDF)
• CAD・CGのための基礎数学 (島田 静雄)
  ５章 図形の投影と変換
  1. 投影・射影・変換などの言葉の意味
  2. アフィン変換
  3. 射影変換
  4. 透視図の数学
  5. 「第5章 図形の投影と変換」のまとめ

  注意：FireFox では画像が見えない．IE では見える．
  (画像のパス名の区切りに '/' ではなく '\' を使っているため．)

• OpenGL
  • OpenGLの座標系
  • gluLookAt - define a viewing transformation (マニュアル)
  • 旧・加納裕のBLOGです
    • gluLookAt
    • gluLookAt(2)
    • search : gluLookAt
  • 三次元日誌
    • glFrustumの解読
    • glFrustumとgluPersepective
  • とにかく動け！VB.netとOpenGLで３Dグラフィックスプログラミング！
    4　視野のセッティング (らいちゅのてきだにサイト)
• DirectX
  • 射影トランスフォーム (Direct3D 9) (MSDN)

このページの主な更新は Blog でお知らせします．

1. 2009/08/16(日) 作成・公開
2. 2009/09/13(日) 右手系／左手系の区別をワールド座標／カメラ座標ごとに明記．
3. 2010/02/27(土) 視野変換の記号を入力・出力・その他に分類，説明少し追記．
4. 2010/06/13(日) 参考・関連図書を追加．
5. 2011/11/03(木) 参考・関連図書を追加．
6. 2012/12/09(日)
   • DirectXMath，XNA Math に関する記述を追加．
   • up＝(0, 1, 0) に固定した場合の問題点を追記．
7. 2016/07/19(火) FireFox の不具合が直っていたので注意書きを修正．